Limite : lever une indétermination

Les méthodes ci-dessous permettent de lever la plupart des indéterminations vues au lycée. Il peut arriver qu'il soit nécessaire d'en combiner plusieurs, ou encore que plusieurs permettent indépendamment de résoudre l'exercice.

(1) factoriser le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré

Quand $3$x\to +\infty$ , $3$\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\frac{|x|}{x}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{1}\to 1$

(2) [à condition d'avoir déjà vu en cours la notion de dérivée ] reconnaître le taux d'accroissement d'une fonction

Quand $3$x\to 0$ , $3$\displaystyle\frac{\cos{x^2}-1}{x^2}=\frac{\cos{x^2}-\cos 0}{x^2-0}\to \cos '0=-\sin 0=0$

(3) multipler par la quantité conjuguée (surtout en cas de racines)

Quand $3$x\to +\infty$ , $3$\sqrt{x^2+1}-x=\frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\to 0$

(4) dans le cas de la limite en un réel d'une fraction de polynômes, factoriser numérateur et dénominateur

Quand $3$x\to 1$ , $3$\frac{x^4+x^3-2}{x^3+x^2-2}=\frac{(x-1)(x^3+2x^2+2x+2)}{(x-1)(x^2+2x+2)}=\frac{x^3+2x^2+2x+2}{x^2+2x+2}\to\frac{7}{5}$

(5) utiliser les formules trigonométriques

Quand $3$x\to 0$ , $3$\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}{x}=\frac{2\cos\frac{\pi}{4}\sin x}{x}\to\sqrt{2}$
Remarque : sur cet exemple, on aurait également pu utiliser la méthode (2).

(6) reconnaître une limite connue

Quand $3$x\to +\infty$ , $3$x^2\sin{\frac{2}{x^2}}=2\frac{\sin{\frac{2}{x^2}}}{\frac{2}{x^2}}\to 2$

Exemples de limites connues :
$3$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ , $3$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$ , $3$\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}=0$ , $3$\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0$ , $3$\lim_{x\to 0}\ln\frac{1+x}{x}=1$ , $3$\lim_{x\to +\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty$ , $3$\lim_{x\to +\infty}xe^{-x}=0$

(7) [hors programme] Règle de L'Hospital
Théorème. Soit $a$ un point d'un intervalle $I$ non réduit à $a$ . Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $I\setminus\{a\}$ (et même éventuellement sur $I$ tout entier mais ce n'est pas indispensable) et dérivables en tout point de l'intérieur de $I\setminus\{a\}$ . Si :
(i) $f$ et $g$ tendent toutes deux vers 0 ou toutes deux vers l'infini en $a$ , et
(ii) $g'$ ne s'annule pas sur $I\setminus\{a\}$ ,
alors il existe un voisinage $V$ de $a$ tel que $g$ ne s'annule pas sur $V\cap I\setminus\{a\}$ , et, sous réserve d'existence de la limite de droite :
$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$
Dans le cas où $a$ serait l'extrémité gauche (resp. droite) de $I$ , ces deux limites sont à entendre comme des limites à droite (resp. à gauche).
(merci à Tigweg pour l'aide précieuse apportée à la formulation de ce théorème ;) )